Attention学习机制数学推导

注意力机制是一种在深度学习中常用的机制，可以在处理变长输入序列时，让模型更加关注与当前任务相关的信息。下面是注意力机制的数学证明。

假设我们有一个输入序列$x = (x_1, x_2, …, x_T)$，其中每个$x_t$都是一个向量，$y$是输出序列。我们需要在每个时间步$t$选择适当的$x_t$来计算$y_t$。注意力机制的思想是，对于每个时间步$t$，我们计算出$x_t$和所有$x_i$之间的相似度得分，然后根据这些得分来给每个$x_i$分配一个权重，最终使用加权平均的方法来计算$y_t$。

具体来说，我们可以使用一个查询向量$q_t$来度量$x_t$和所有$x_i$之间的相似度。一种常用的计算方式是点积计算：

$$\text{score}(q_t, x_i) = q_t^Tx_i$$

接着，我们可以将得分进行归一化，得到一个权重向量$\alphat$，其中$\alpha{t,i}$表示在计算$y_t$时应该分配给$x_i$的权重：

$$\alpha_{t,i} = \frac{\exp(\text{score}(q_t, x_i))}{\sum_{j=1}^{T}\exp(\text{score}(q_t, x_j))}$$

最后，我们可以使用加权平均的方法来计算$y_t$：

$$y_t = \sum_{i=1}^{T}\alpha_{t,i}x_i$$

注意力机制的数学证明主要是通过反向传播算法来训练模型。假设$L$是损失函数，我们需要计算$L$对$q_t$和$x_i$的梯度。根据链式法则，我们可以将$L$对$x_i$的梯度表示为：

$$\frac{\partial L}{\partial x_i} = \sum_{t=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial y_t}\alpha_{t,i}$$

这意味着，对于每个$x_i$，我们可以通过对所有$y_t$进行加权求和，来计算$L$对$x_i$的梯度。类似地，我们可以将$L$对$q_t$的梯度表示为：

$$\frac{\partial L}{\partial q_t} = \sum_{i=1}^{T}\frac{\partial L}{\partial y_t}\frac{\partial y_t}{\partial \alpha_{t,i}}\frac{\partial \alpha_{t,i}}{\partial q_t}$$

其中，$\frac{\partial yt}{\partial \alpha{t,i}}$表示$yt$对$\alpha{t,i}$的梯度，可以通过链式法则计算得出：

$$\frac{\partial y_t}{\partial \alpha_{t,i}} = x_i$$

$\frac{\partial \alpha_{t,i}}{\partial q_t}$表示$\